Question

已知點P為圓 x²+y²=4上的動點，且P不在x 軸上，PD⊥x 軸，垂足為D，線段PD中點Q的軌跡為曲線C，過定點M（t，0）（0< t <2）任作一條與y軸不垂直的直線l ，它與曲線C交于A、B兩點。
（1）求曲線C的方程；
（2）試證明：在x軸上存在定點N，使得∠ANB總能被x軸平分

Answer 1

解：（1）設Q（x，y）為曲線C上的任意一點，則點P（x，2y）在圓x²+y²=4上，
∴x²+4y²=4，曲線C的方程為．  
（2）設點N的坐標為（n，0），直線l的方程為x=sy+t， 
 代入曲線C的方程，可得
∵0< t < 2，∴
∴直線l與曲線C總有兩個公共點．
設點A，B的坐標分別（x₁，y₁），（x₂，y₂），則
 
要使∠ANB被x軸平分，只要
即 ，y₁（x₂-n）+y₂（x₁-n）=0， 
也就是y₁（sy₂+t-n）+y₂（sy₁+t-n）=0，2sy₁y₂+（t-n）（y₁+y₂）=0， 
即 ，
即只要（nt-4）s=0　 
當 時，（＊）對任意的s都成立，從而∠ANB總能被x軸平分．
所以在x軸上存在定點，使得∠ANB總能被x軸平分