Question

已知橢圓的中心為原點(diǎn)，長軸在 軸上，上頂點(diǎn)為 ，左、右焦點(diǎn)分別為 ，線段  的中點(diǎn)分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求直線的方程

 

Answer 1

【答案】

：（Ⅰ）+=1（Ⅱ） 和

【解析】：：（Ⅰ）如答（20）圖，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1（），

右焦點(diǎn)為因 是直角三角形且 ，故  為直角，從而，即  ，結(jié)合  得 。故  ，所以離心率  ，在 中，  故

由題設(shè)條件得 ，從而因此所求  橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，由題意，直線的傾斜角不為0，故可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程（*）

設(shè)  則 是上面方程的兩根，因此

 又，

所以

由  ，知 ，即，解得

所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為 和

【考點(diǎn)定位】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；直線的一般式方程；直線與圓錐曲線的綜合問題