Question

一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西80km處，受影響的范圍是半徑長為r（r＞0）km的圓形區域．輪船的航行方向為西偏北45°且不改變航線，假設臺風中心不移動． 如圖所示，試問：
（1）r在什么范圍內，輪船在航行途中不會受到臺風的影響？
（2）當r=60km時，輪船在航行途中受到影響的航程是多少km？

Answer 1

分析：首先建立以臺風中心為原點建立直角坐標系，
（1）由輪船在直線l：x+y-80=0上移動，則得到原點到l的距離d=40

2

．根據條件來判斷是否受臺風影響．
（2）根據60＞40

2

，得到會受到臺風影響的結論，其航程由弦長一半的平方等于半徑的平方減去圓心到直線的距離的平方求解．

解答：解：如圖，以臺風中心為原點建立直角坐標系．
（1）輪船在直線l：x+y-80=0上移動，
原點到l的距離d=40

2

．（3分）
∴0＜r＜40

2

時，輪船在途中不會受到臺風影響．（6分）
（2）60＞40

2

，會受到臺風影響．
航程為22

602-(40 2 )2

=40km（10分）

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系及其方程的應用，本題是一道應用題，要建立數學模型，轉化為已知的問題解決．