Question

設滿足以下兩個條件得有窮數列為階“期待數列”：
①，②.
（1）若等比數列為階“期待數列”，求公比；
（2）若一個等差數列既為階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；
（3）記階“期待數列”的前項和為.
（）求證：；
（）若存在，使，試問數列是否為階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）（）證明見解析；（）不能，理由見解析.

試題分析：
（1）由階“期待數列”定義，當，結合已知條件①求得等比數列的公比，若，由①得, ，得，不可能，所以 ；
（2）設出等差數列的公差，結合①②求出公差，再由前項和為求出首項，則等差數列的通項公式可求；
（3）（）由階“期待數列”前項中所有的和為0，所有項的絕對值之和為1，求得所有非負項的和為，所有負項的和為，從而得到答案；
（）借助于（）中結論知，數列的前項和為，且滿足，再由，得到，從而說明與不能同時成立.
(1) 若，則由①
由，所以，得，
由②得或,滿足題意.
若，由①得, ，得，不可能.
綜上所述.                
(2)設等差數列的公差為.
因為，所以.
所以.
因為，所以由，得. 
由題中的①、②得
,   ，
兩式相減得, 即. 又,得.
所以.
(3) 記中非負項和為,負項和為.
則, 得.
（） 因為，所以.    
（） 若存在，使，由前面的證明過程知：
，
且.
記數列的前項和為.若為階“期待數列”，
則由()知, . 所以
因為， 所以.
所以,.
又, 則.
所以.
所以與不能同時成立.
所以對于有窮數列,若存在，使，
則數列不能為階“期待數列”.