Question

(理)(1)證明：若數列{a_n}有遞推關系a_n+1=Aa_n+B，其中A、B為常數，且A≠1，B≠0，則數列{a_n}是以A為公比的等比數列；

(2)若數列{a_n}對于任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-n，令f(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函數f(x)在x=1處的導數．

(文)設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知對于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-n．

(1)求數列{a_n}的首項a₁及遞推關系式：a_n+1=f(a_n)；

(2)先閱讀下面的定理：“若數列{a_n}有遞推關系a_n+1=Aa_n+B，其中A、B為常數，且A≠1，B≠0，

則數列{a_n}是以A為公比的等比數列”．請你在(1)的基礎上應用本定理，求數列{a_n}的通項公式；

(3)求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

答案：(理)(1)a_n+1=Aa_n+B=Aa_n=A(a_n)

A(a_n)

∴{a_n}是以A為公比的等比數列．

(2)∵S_n+1=2a_n+1-(n+1)，S_n=2a_n-n

∴a_n+1=2a_n+1-2a_n-1

即a_n+1=2a_n+1

由(1)知{a_n+1}是公比為2的等比數列

∴a_n=2ⁿ-1

∵f′(x)=a₁+2a₂+3a₃x²+…+na_nx^n-1

∴f′(1)=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n

=(2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ)-(1+2+3+…+n)

=2+(n-2)2ⁿ⁺¹

(文)(1)∵a₁=2a₁-1，∴a₁=1

∵S_n=2a_n-n                                                                   ①

∴S_n+1=2a_n+1-(n+1)                                                             ②

②-①得a_n+1=2a_n+1-2a_n-1

∴a_n+1=2a_n+1．

(2)∵a_n+1=2a_n+1

∴{a_n+1}是等比數列，公比為2，首項為a_n+1=2

∴a_n+1=2×2^n-1，∴a_n=2ⁿ-1．

(3)S_n=(2-1)+(2²-1)+(2³-1)+…+(2ⁿ-1)

=(2+2²+2³+…+2ⁿ)-n=2ⁿ⁺¹-2-n．