Question

已知函數y=f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=x²-2x-3，則當方程f（x）=k有三個不等實根時，k的取值范圍是（　　）

A．（-4，-3]∪[3，4）

B．[-4，-3）∪（3，4]

C．[-4，-3]∪[3，4]

D．（-4，-3）∪（3，4）

Answer 1

分析：令x＜0，則-x＞0，由x＞0時，f（x）=x²-2x-3，可求得f（-x），而f（x）為定義在R上的奇函數，從而可求得x＜0時的解析式，再用分段函數表示函數f（x）的解析式畫出圖象，結合圖象觀察交點情況即可．

解答：解：令x＜0，則-x＞0，
∵x＞0時，f（x）=x²-2x-3，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3，
又f（x）為定義在R上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x）=x²+2x-3，
∴f（x）=-x²-2x+3（x＜0）．
∴f（x）=

x2-2x-3，x＞0 -x2-2x+3，x＜0

．其圖象如圖：
從圖中可以得出，當方程f（x）=k有三個不等實根時，k的取值范圍是（-4，-3）∪（3，4），
故選D．

點評：本題考查函數奇偶性的性質與函數的圖象，求得x＜0時的解析式是關鍵，考查運算與作圖能力，屬于基礎題．