Question

某個(gè)公園有個(gè)池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．

(1)現(xiàn)在準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如圖(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF 面積S_△DEF的最大值；
(2)現(xiàn)在準(zhǔn)備新建造一個(gè)荷塘，分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如圖(2)，建造△DEF
連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，求△DEF邊長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

（1）；（2）百米．

解析試題分析：（1）求△DEF 面積S_△DEF的最大值，先把△DEF 面積用一個(gè)參數(shù)表示出來，由于它是直角三角形，故只要求出兩直角邊DE和EF，直角△ABC中，可得，由于EF‖AB，EF⊥ED，那么有，因此我們可用CE來表示FE，DE．從而把S_△DEF表示為CE的函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識(shí)（或不等式知識(shí)）求出最大值；（2）．等邊△DEF可由兩邊EF＝ED及確定，我們?cè)O(shè)，想辦法也把與一個(gè)參數(shù)建立關(guān)系式，關(guān)鍵是選取什么為參數(shù)，由于等邊△DEF位置不確定，我們可選取為參數(shù)，建立起與的關(guān)系．，則，中應(yīng)用正弦定理可建立所需要的等量關(guān)系．
試題解析：（1）中，，百米，百米．
，可得，
，，
設(shè)，則米，
中，米，C到EF的距離米，
∵C到AB的距離為米，
∴點(diǎn)D到EF的距離為米，
可得，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
∴當(dāng)時(shí)，即E為AB中點(diǎn)時(shí)，的最大值為．   7分
（2）設(shè)正的邊長(zhǎng)為，，
則，
設(shè)，可得
，，
∴．
在中，，
即，化簡(jiǎn)得，     12分
（其中是滿足的銳角），
∴邊長(zhǎng)最小值為百米．     14分
考點(diǎn)：（1）面積與基本不等式；（2）邊長(zhǎng)與三角函數(shù)的最值．