Question

設函數f（x）=

3x-1

x+1

．
（1）已知s=-t+

1

2

（t＞1），求證：f（

t-1

t

）=

s+1

s

；
（2）證明：存在函數t=φ（s）=as+b（s＞0），滿足f（

s+1

s

）=

t-1

t

；
（3）設x₁=

11

17

，x_n+1=f（x_n），n=1，2，…．問：數列{

1

xn-1

}是否為等差數列？若是，求出數列{x_n}中最大項的值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數的表達式求出f（

t-1

t

）及

s+1

s

，得出f（

t-1

t

）=

s+1

s

；
（2）先計算f（

s+1

s

）和

t-1

t

，假設

2S+3

2S+1

=

as+b-1

as+b

列式得出a，b的值，從而得出存在函數t=φ（s）=-s-

1

2

（s＞0），滿足f（

s+1

s

）=

t-1

t

；
（3）利用x_n+1=f（x_n），得出x_n+1=

3x n-1

x n+1

，再計算

1

x n+1-1

-

1

x n-1

=

1

3x n-1 x n+1 -1

-

1

x n-1

=

1

2

，從而得出數列{

1

xn-1

}是等差數列，且結合函數的單調性得到當n=7時，數列{x_n}中最大項．

解答：解：（1）f（

t-1

t

）=

3• t-1 t -1

t-1 t +1

=

2t-3

2t-1

s+1

s

=

-t+ 1 2 +1

-t+ 1 2

=

2t-3

2t-1

；
∴f（

t-1

t

）=

s+1

s

；
（2）f（

s+1

s

）=

3• s+1 s -1

s+1 s +1

=

2S+3

2S+1

t-1

t

=

as+b-1

as+b

；
由

2S+3

2S+1

=

as+b-1

as+b

得：

a=-1 b=- 1 2

故存在函數t=φ（s）=-s-

1

2

（s＞0），滿足f（

s+1

s

）=

t-1

t

；
（3）∵x_n+1=f（x_n），
∴x_n+1=

3x n-1

x n+1

，
∴

1

x n+1-1

-

1

x n-1

=

1

3x n-1 x n+1 -1

-

1

x n-1

=

1

2

，
∴數列{

1

xn-1

}是等差數列，首項為：

1

11 17 -1

=-

17

6

，公差為

1

2

，
∴

1

xn-1

=-

17

6

+

1

2

（n-1），x_n=

2

n- 20 3

+1，
當n=7時，數列{x_n}中最大項為：x₇=7．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、數列與函數的綜合、等差數列等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．