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已知函數，（＞0，，以點為切點作函數圖像的切線，記函數圖像與三條直線所圍成的區域面積為。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求證：＜；

（Ⅲ）設為數列的前項和，求證：＜.

解：（Ⅰ）易知，切點為，則方程為

即

∴=

（Ⅱ）構造函數，（≥0）

則

即函數，（≥0）單調遞減，而

∴，等號在時取得，

∴當＞0時，＜成立

∴知＜

∴=＜

（Ⅲ）＜＜

∴當時，=＜；

當時，＜

＜

方法二：

（Ⅰ）（Ⅱ）同方法一；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知＜，

   （）

又,   ,

∴綜上所述：對一切，都有＜。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

函數y=f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f（x）在[a，b]上的面積，已知函數y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
（n∈N+），則函數y=sin3x在[0，
2π
3
]上的面積為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數，f(x)=
0(x＞0)
-π(x=0)
x
2
3
+1(x＜0)
，則復合函數f{f[f（-1）]}=（　　）
A、x2+1
B、π2+1
C、-π
D、0

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=2cosx（0≤x≤2π）的圖象和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形，則其面積為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f（x）在[a，b]上的面積．已知函數y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
(n∈N*)，則函數y=cos3x在[0，
5π
6
]上的面積為
5
3
5
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數y=f（x）的圖象與直線x=a，y=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f（x）在[a，b]上的面積，已知函數y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
，則（1）函數y=sin3x在[0，
2π
3
]上的面積為
4
3
4
3
，（2）函數y=sin（3x-π）在[
π
3
，
4π
3
]上的面積為
π+
2
3
π+
2
3
．

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