Question

我們把由半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）與半橢圓

y2

b2

+

x2

c2

=1（x≤0）合成的曲線稱作“果圓”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如圖，設點F₀，F₁，F₂是相應橢圓的焦點，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點，M是線段A₁A₂的中點．
（1）若△F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；
（2）設P是“果圓”的半橢圓

y2

b2

+

x2

c2

=1（x≤0）上任意一點．求證：當|PM|取得最小值時，P在點B₁，B₂或A₁處；
（3）若P是“果圓”上任意一點，求|PM|取得最小值時點P的橫坐標．

Answer 1

分析：（1）根據焦點F₀，F₁，F₂的坐標，分別求得|F₀F₂|和|F₁F₂|進而求得c²，則a可求得，進而求得果圓的方程．
（2）設P（x，y），則|PM|可求，根據1-

b2

c2

＜0求得∴|PM|²的最小值只能在x=0或x=-c處取到．即|PM|取得最小值時，P在點B₁，B₂或A₁處．原式得證．
（3）根據題意可知研究P位于“果圓”的半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (x≥0)上的情形即可．先表示出|PM|進而根據x的范圍確定a和c不等式關系，看a≤2c時，|PM|²的最小值在x=

a2(a-c)

2c2

時取到，根據|PM|²在x＜a時是遞減的進而可知|PM|²的最小值在x=a時取到，進而分別求得P的坐標．

解答：解：（1）∵F0(c，0)，F1(0，-

b2-c2

)，F2(0，

b2-c2

)，
∴|F0F2|=

(b2-c2)+c2

=b=1，| F1F2|=2

b2-c2

=1，
于是c2=

3

4

，a2=b2+c2=

7

4

，
所求“果圓”方程為

4

7

x2+y2=1(x≥0)，y2+

4

3

x2=1(x≤0)．
（2）設P（x，y），則|PM|2=(x-

a-c

2

)2+y2=(1-

b2

c2

)x2-(a-c)x+

(a-c)2

4

+b2，-c≤x≤0，
∵1-

b2

c2

＜0，
∴|PM|²的最小值只能在x=0或x=-c處取到．
即當|PM|取得最小值時，P在點B₁，B₂或A₁處．
（3）∵|A₁M|=|MA₂|，且B₁和B₂同時位于“果圓”的半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1( x≥0 )和半橢圓

y2

b2

+

x2

c2

=1( x≤0 )上，
所以，由（2）知，只需研究P位于“果圓”的半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (x≥0)上的情形即可．|  PM|2=(x-

a-c

2

)2+y2=

c2

a2

[ x-

a2(a-c)

2c2

]2+b2+

(a-c)2

4

-

a2(a-c)2

4c2

．
當x=

a2(a-c)

2c2

≤a，即a≤2c時，|PM|²的最小值在x=

a2(a-c)

2c2

時取到，
此時P的橫坐標是

a2(a-c)

2c2

．
當x=

a2(a-c)

2c2

＞a，即a＞2c時，
由于|PM|²在x＜a時是遞減的，|PM|²的最小值在x=a時取到，此時P的橫坐標是a．
綜上所述，若a≤2c，當|PM|取得最小值時，點P的橫坐標是

a2(a-c)

2c2

；
若a＞2c，當|PM|取得最小值時，點P的橫坐標是a或-c．

點評：本題主要考查了橢圓的應用．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．