Question

從函數角度看，組合數

C

r n

可看成是以r為自變量的函數f（r），其定義域是{r|r∈N，r≤n}．
（1）證明：f(r)=

n-r+1

r

f(r-1)；
（2）利用（1）的結論，證明：當n為偶數時，（a+b）ⁿ的展開式中最中間一項的二項式系數最大．

Answer 1

分析：（1）先根據組合數公式求出f（r）、f（r-1），計算

n-r+1

r

•f（r-1）的值，從而證得結論．
（2）設n=2k，k∈z，由（1）可得

f(r)

f(r-1)

=

2k-r+1

r

，令f（r）≥f（r-1），可得r≤k+

1

2

 （等號不成立）．故有當r=1，2，3…k時，f（r）＞f（r-1）成立；當r=k+1，k+2，k+33…2k時，f（r）＜f（r-1）成立．故f（k）=

C

k 2k

最大，從而證得結論．

解答：（1）證明：∵f（r）=

C

r n

=

n!

r!•(n-r)!

，而 f（r-1）=

C

r-1 n

=

n!

(r-1)!•(n-r+1)!

，
∴

n-r+1

r

•f（r-1）=

n-r+1

r

•

n!

(r-1)!•(n-r+1)!

=

n!

r!•(n-r)!

，
故f(r)=

n-r+1

r

f(r-1)成立．
（2）證明：當n為偶數時，設n=2k，k∈z，∵f(r)=

n-r+1

r

f(r-1)，f（r-1）＞0．
∴

f(r)

f(r-1)

=

2k-r+1

r

．
令f（r）≥f（r-1），可得

2k-r+1

r

≥1，∴r≤k+

1

2

 （等號不成立）．
∴當r=1，2，3…k時，f（r）＞f（r-1）成立；
反之，當r=k+1，k+2，k+3…2k時，f（r）＜f（r-1）成立．
故f（k）=

C

k 2k

最大，即（a+b）ⁿ的展開式中最中間一項的二項式系數最大．

點評：本題主要考查組合及組合數公式，二項式定理的應用以及二項式系數的性質，屬于基礎題．