Question

已知f(x)=

1 x -1

．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷并用定義證明函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）由題意列出

1

x

-1≥0，通分變形后求出不等式得解集，是所求的定義域；
（2）先根據解析式判斷出是減函數，再用定義法證明函數在定義域內是減函數．

解答：解：（1）要使函數有意義，則

1

x

-1≥0，即

x-1

x

≥0，
解得0＜x≤1，則所求的定義域為（0，1]．
（2）f（x）在（0，1）內單調遞減，證明如下：
設0＜x₁＜x₂≤1
則f(x2)-f(x1)=

1 x2 -1

-

1 x1 -1

=

x1-x2 x2x1

1 x2 -1 + 1 x1 -1

＜0．
即f（x₂）＜f（x₁），∴函數f（x）在（0，1]上單調遞減．

點評：本題考查了函數的定義域的求法，即利用偶次根號下被開方數大于等于零，列出不等式進行化簡求解，證明函數的單調性必須用定義法去證．