Question

（2010•南充一模）設函數f（x）是定義在x∈[-1，1]上的偶函數，函數g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，且當x∈[2，3]時，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³
①求f（x）的解析式；
②是否存在正整數a，使f（x）的最大值為12？若存在求出a的值，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設f（x）的圖象上任意點（x，f（x）），求出它關于直線x=1的對稱點的坐標，由題意給出x的范圍，再代入g（x）的解析式化簡，再由偶函數的關系式求出另外一部分的解析式，最后用分段函數的形式表示出來；
（2）先假設存在，由偶函數的性質確定研究的對象，再求出函數的導數和臨界點，根據臨界點與區間的關系分類討論，由導數與函數的關系判斷函數的單調性，并求出函數的最值，再由題意列出方程求出a的值．

解答：解：（1）設f（x）的圖象上任意點（x，f（x）），
它關于直線x=1的對稱點（2-x，f（x））在g（x）的圖象上，
當x∈[-1，0]時，2-x∈[2，3]，且g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³，
∴f（x）=g（2-x）=-2ax+4x³，
當x∈（0，1]時，-x∈[-1，0），∴f（-x）=2ax-4x³，
又∵f（x）是定義在x∈[-1，1]上的偶函數，
∴f（x）=2ax-4x³，
則f(x)=

-2ax+4x3      (-1≤x≤0) 2ax-4x3          (0＜x≤1)

，
（2）假設存在正整數a，使函數f（x）的最大值為12，
又f（x）為偶函數，故只需研究函數f（x）=2ax-4x³在x∈（0，1]的最大值
令f′（x）=2a-12x²=0，得x=

a 6

(a＞0)，
若

a b ∈(0，1]，即0＜a≤6

時：

x∈(0， a 6 ]，f′(x)＞0，f(x)

單調遞增，

x∈( a 6 ，1]，f′(x)＜0，f(x)

單調遞減，
則

[f(x)]max=f( a 6 )=2a× a 6 -4( a 6 )3＜2a× a 6 ≤12

故此時不存在符合題意的a，
若

a 6 ＞1，即a＞6

時，f′（x）＞0在（0，1]上恒成立，
則f（x）在（0，1]上單調遞增，
∴

[f(x)]max=f(1)=2a-4

，
令2a-4=12，得a=8，
綜上，存在a=8滿足題意．

點評：本題考查了函數的對稱性，奇偶性的綜合應用，還考查了導數與函數性質之間的關系，涉及了分類討論思想和存在性問題等，比較綜合，屬于中檔題．