Question

三棱柱ABC-A1B1

C

1

中，AA₁與AC、AB所成角均為60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA₁，則A₁B與AC₁所成角的余弦值為（　　）

A．1

B．-1

C． 3 3

D．- 3 3

Answer 1

連結A₁C，交AC₁于點E，取BC的中點D，連結AD、DE，
∵四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，∴E是A₁C的中點
∵D是BC的中點，∴DE是△A₁BC的中位線，可得DE

∥

.

1

2

A₁B，
因此，∠AED（或其補角）就是異面直線A₁B與AC₁所成的角．
設AB=AC=AA₁=2，可得
∵∠A₁AB=60°，
∴△A₁AB是等邊三角形，可得A₁B=2，得DE=

1

2

A₁B=1．
同理，等邊△A₁AC中，中線AE=

3

2

A₁A=

3

，
又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D為BC中點，
∴AD=

1

2

BC=

1

2

AB2+AC2

=

2

由此可得△ADE中，cos∠AED=

AE2-ED2-AD2

2AE•ED

=

3+1-2

2× 3 ×1

=

3

3

．
即異面直線A₁B與AC₁所成角的余弦值為

3

3

．
故答案為：

3

3