Question

（2013•房山區二模）在數列{a_n}中，如果對任意的n∈N^*，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=λ（λ為常數），則稱數列{a_n}為比等差數列，λ稱為比公差．現給出以下命題：
①若數列{F_n}滿足F₁=1，F₂=1，F_n=F_n-1+F_n-2（n≥3），則該數列不是比等差數列；
②若數列{a_n}滿足an=3•2n-1，則數列{a_n}是比等差數列，且比公差λ=0；
③等比數列一定是比等差數列，等差數列一定不是比等差數列；
④若{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，則數列{a_nb_n}是比等差數列．
其中所有真命題的序號是

①②

．

Answer 1

分析：①斐波那契數列{F_n}，根據斐波那契數列的性質進行化簡變形，看其是否滿足比等差數列的定義；
②若a_n=3•2^n-1，代入

an+2

an+1

-

an+1

an

進行求解看是否是常數，可得答案；
③根據等比數列的定義可知

an+2

an+1

=

an+1

an

，滿足比等差數列的定義，若等差數列為a_n=n，看其是否滿足

an+2

an+1

-

an+1

an

=λ（λ為常數）；
④如果{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，設a_n=n，b_n=2ⁿ，看其是否滿足比等差數列的定義．

解答：解：解：①由題意知，數列{F_n}為斐波那契數列{F_n}，

an+2

an+1

-

an+1

an

=

an+1+an

an+1

-

an+an-1

an

≠常數，不滿足比等差數列的定義，故①正確；
②若a_n=3•2^n-1，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

3•2n+1

3•2n

-

3•2n

3•2n-1

=2-2=0，滿足比等差數列的定義，故②正確；
③等比數列都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=0，滿足比等差數列的定義，若等差數列為a_n=1，則有

an+2

an+1

-

an+1

an

=0，故③不正確；
④如果{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，設a_n=n，b_n=2ⁿ，
則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

(n+2)•2n+2

(n+1)•2n+1

-

(n+1)•2n+1

n•2n

=

2(n+2)

n+1

-

2(n+1)

n

=-

2

n(n+1)

≠常數，不滿足比等差數列的定義，故④不正確；
故答案為：①②

點評：本題考查新定義，解題時應正確理解新定義，同時注意利用列舉法判斷命題為假，屬于難題．