Question

如圖為函數f(x)=

x

(0＜x＜1)的圖象，其在點M（t，f（t））處的切線為l，l與y軸和直線y=1分別交于點P、Q，點N（0，1），若△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個，則b的取值范圍為
（　　）

• A．[

  1

  4

  ，

  10

  27

  )
• B．(

  1

  2

  ，

  10

  27

  ]
• C．(

  1

  2

  ，

  10

  27

  ]
• D．(

  1

  4

  ，

  8

  27

  )

Answer 1

分析：對函數求導可得，f′（x）=

1

2 x

，根據導數的幾何意義先寫出過點M的切線方程為y-

t

=

1

2 t

（x-t），進而可得面積S=

t

-t+

t t

4

，令g（t）為一個新的函數，要使△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個即g（t）在（0，1）上與y=b有兩個交點，通過g′（t）研究函數函數g（t）在（0，1）上的單調性，結合函數的圖象進行求解；

解答：解：解：對函數求導可得，f′（x）=

1

2 x

，由題意可得M（t，

t

），
切線的斜率k=f′（t）=

1

2 t

過點M的切線方程為y-

t

=

1

2 t

（x-t）
則可得P（0，

t

2

），N（0，1），Q（2

t

-t，1），
s_△PNQ=

1

2

PN•NQ=

1

2

（2

t

-t）（1-

t

2

）=

t

-t+

t t

4

，
令g（t）=

t

-t+

t t

4

（0＜t＜1）
g′（t）=

3

8

t

+

1

2 t

-1=

3t-8 t +4

8 t

=

(3 t -2)( t -2)

8 t

，
函數g（t）在（0，

4

9

）單調遞增，在[

4

9

，1）單調遞減，
由于g（1）=

1

4

，g（

4

9

）=

8

27

，
△PNQ的面積為b時的點M恰好有兩個，
即g（t）在（0，1）上與y=b有兩個交點，
根據函數的圖象可得，

1

4

＜b＜

8

27

，

故選D；

點評：本題主要考查了導數的幾何意義的應用：求切線方程；利用導數判斷函數的單調性，求解函數的最值，解決本題的關鍵是構造函數g（t），通過研究該函數的性質，給出相應的函數的圖象，本題是一道中檔題；