Question

設向量a=（x²-3，1），b=（2x，-y）（其中實數y和x不同時為零），當|x|＞1時，有a⊥b；當|x|≤1時，有a∥b．
（Ⅰ）求函數解析式y=f（x）；
（Ⅱ）設，且，求α．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵當|x|＞1時，
∴（x²-3）•2x-y=0，
∴y=2x³-6x（|x|＞1）（2分）
∵當|x|≤1時，
∴（x²-3）•（-y）=2x，
∵實數y和x不同時為零，
∴（4分）
∴（6分）
（Ⅱ）由|sinα|≤1且，
∴有，（8分）
∴sin²α+4sinα-3=0，（sinα+2）²=7，
∴（舍負），且有（10分）
又∵，
∴（12分）
分析：（Ⅰ）根據題意分類討論，當|x|＞1時由，可得函數解析式；|x|≤1時由，可得其函數表達式；兩者合起來即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知道，，由即得，從而可求得，利用反正弦可求得α．
點評：本題考查三角函數的化簡求值，著重考查平面向量的坐標表示及垂直與平行的應用，難點在于反正弦的理解與應用，屬于中檔題．