Question

己知f′（x）為函數f（x）=x+

1

x

的導函數，則下列結論中正確的是（　　）

• A、?x₀∈R，?x∈R且x≠0，f（x）≤f（x₀）
• B、?x₀∈R，?x∈R且x≠0，f（x）≥f（x₀）
• C、?x₀∈R，?x∈（x₀，+∞），f′（x）＜0
• D、?x₀∈R，?x∈（x₀，+∞），f′（x）＞0

Answer 1

分析：根據基本不等式求出函數的最值即可判斷A，B，利用導數研究函數的單調性即可判斷C，D．

解答：解：∵f（x）=x+

1

x

，
∴x≠0，f'（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

．
當x＞0時，f（x）=x+

1

x

≥2，
當x＜0時，f（x）=x+

1

x

≤-2，
∴在定義域上函數f（x）沒有最值，∴A，B錯誤．
由f'（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

＜0，解得-1＜x＜0或0＜x＜1，
∴不存在x₀∈R，?x∈（x₀，+∞），使f′（x）＜0成立，∴C錯誤．
由f'（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴存在x₀＞1，?x∈（1，+∞），使f′（x）＞0成立，∴D正確．
故選：D．

點評：本題主要考查函數f（x）=x+

1

x

的最值以及單調性的性質的應用，利用導數和基本不等式是解決本題的關鍵．