Question

設頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線過點P（2，4），過P作拋物線的動弦PA，PB，并設它們的斜率分別為k₁，k₂．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若k₁k₂=1，求證直線AB恒過定點，并求出其坐標．

Answer 1

分析：（1）先設拋物線方程，根據拋物線過點（2，4），把其代入即可求出拋物線的方程；
（2）先根據k₁k₂=1，得到關于A，B的坐標之間的關系，再根據兩點式寫出直線方程，結合所求的結論，即可證直線AB恒過定點，并求出其坐標．

解答：解：（1）依題意，可設所求拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
因拋物線過點（2，4），故4²=4p，p=4，拋物線方程為y²=8x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則k1=

y1-4

x1-2

=

y1-4

y12 8 -2

=

8

y1+4

k2=

y2-4

x2-2

=

y1-4

y22 8 -2

=

8

y2+4

．
∵k₁k₂=1，∴

8

y1+4

•

8

y2+4

=1，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）-48=0．
直線AB的方程為y-y1=

8

y1+y2

(x-

y12

8

)，即（y₁+y₂）y-y₁y₂=8x．
將y₁y₂=-4（y₁+y₂）+48代入上式得：
（y₁+y₂）（y+4）=8（x+6），
即（8x+48）-（y₁+y₂）（y+4）=0．
令k=-（y₁+y₂），則方程化為（8x+48）+k（y+4）=0．
由直線系方程得

8x+48=0 y+4=0

，解得

x=-6 y=-4

．
∴該直線恒過定點（-6，-4）．

點評：本題考查了拋物線的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，解答此題的關鍵在于充分利用斜率間的關系，同時注意解題過程中坐標運算的簡化．此題是中檔題．