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若實數x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab
；
（3）已知函數f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的基本性質（結論不要求證明）．
分析：（1）根據定義可得|x2-1|＞1再按照絕對值不等式的解法求解．
（2）證明：易知∵
b2
a
+
a2
b
＞ a+b＞2
ab
成立，再兩邊同乘以ab得到要證明的問題．
（3）根據定義可得f(x)=
sinx，x∈(kπ+
π
4
，kπ+
3π
4
)
cosx，x∈(kπ-
π
4
，kπ+
π
4
)
，再由正弦函數和余弦函數的性質進行探討．
解答：解：（1）根據定義可得：|x2-1|＞1
∴x2-1＞1或x2-1＜-1
解得x∈(-∞，-
2
)∪(
2
．+∞)
（2）證明：欲證明a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab

即證|a3+b3-2ab
ab
|＞|a2b+ab2-2ab
ab
|，又任意兩個不相等的正數a、b
即證|
b2
a
+
a2
b
-2
ab?
|＞|a+b-2
ab?
|
由于a+b≥2
ab?
，
b2
a
+
a2
b
-(a+b)=
(a+b)(a2+b2-2ab)
ab
＞0
∴
b2
a
+
a2
b
＞a+b＞2
ab

即證|
b2
a
+
a2
b
-2
ab?
|＞|a+b-2
ab?
|成立
∴|a3+b3-2ab
ab
|＞|a2b+ab2-2ab
ab
|
（3）由題意知f(x)=
sinx，x∈(kπ+
π
4
，kπ+
3π
4
)
cosx，x∈(kπ-
π
4
，kπ+
π
4
)

性質：①函數是偶函數；
②周期T=
π
2

③在區間[
kπ
2
+
π
4
，
kπ
2
+
π
2
]k∈z是增函數，在[
kπ
2
-
π
4
，
kπ
2
+
π
4
]k∈z是減函數
④最大值為1，最小值為
2
2

⑤定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}
點評：本題通過新定義來考查絕對值不等式的解法，絕對值不等式的證明，構造新函數并研究其性質，設置新穎，考查豐富，是一道好題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若實數x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若實數x，y，m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y靠近m．
（Ⅰ）若x+1比-x靠近-1，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）①對任意x＞0，證明：ln（1+x）比x靠近0；②已知數列{an}的通項公式為an=1+21-n，證明：a1a2a3…an＜2e．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•煙臺一模）若實數x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．若x2-1比1遠離0，則x的取值范圍是
(-∞，-
2
)∪(
2
，+∞)
(-∞，-
2
)∪(
2
，+∞)
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若實數x，y，m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y更接近m．
（1）若x2比4更接近1，求x的取值范圍；
（2）a＞0時，若x2+a比（a+1）x更接近0，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若實數x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若2x-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
．

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