Question

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截面得，已知FA⊥平面ABC，AB＝2，BD＝1，AF＝2， CE＝3，O為AB的中點．

（1）求證：OC⊥DF；
（2）求平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小；
（3）求多面體ABC—FDE的體積V．

Answer 1

（1）以O為原點，OB、OC、Oz分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
即 
（2）平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為      
（3）

試題分析：（1）證法一：FA⊥平面ABC，平面ABC，     2分
又CA=CB且O為AB的中點， 平面ABDF，          4分
平面ABDF，        5分
證法二：如圖，以O為原點，OB、OC、Oz分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，                2分
即      5分
（2）解法一：解：設平面ABC的法向量為            6分

設平面DEF的法向量為 
由得, 
解得,           8分
所以,          10分
故平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為            11分
解法二：設平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為，依題中的條件可求得DE=由空間射影定理得故平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為             11分
解法三：延長ED、FD交直線CB、AB于M、N兩點，過B點作MN的垂線交MN于Q點，連結DQ，
平面BMN，所以為二面角的平面角，
，故平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為      11分
（3）解法一：由（1）知平面ABDF，且平面ABC，
 
         14分
所以多面體ABC—FDE的體積為解法二：在原來的幾何體再補一個相同的幾何體得到一個直三棱柱，其底面為ABC，高為4，
所以多面體ABC—FDE的體積所以多面體ABC—FDE的體積為
點評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個基本思路。對計算能力要求較高。