Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），我們將乘積a₁?a₂?…?a_n為整數的數n叫做“劣數”，則在區間（1，2006）內的所有劣數之和記為M，則M=（　　）

• A、1024
• B、2003
• C、2026
• D、2048

Answer 1

分析：由題意，a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），我們將乘積整數的數n叫做“劣數”，運算得a₁?a₂?…?a_n=log₂（n+2），可得n+2必為2的整數次冪，由此計算出區間（1，2006）內所有的n，求M

解答：解：由對數的運算性質及a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），得a₁?a₂?…?a_n=log₂（n+2），令log₂（n+2）=k，k∈z
故n=2^k-2，k∈z
又n∈N₊，故最小的n為2，又2¹¹-2＞2006，2¹⁰-2＜2006故n的最小值是10
由此知，符合條件的劣數組成的數列為{2^r-2}，r=2，…，10
故M=

4×(1-29)

1-2

-2×9=2026
故選C

點評：本題考查對數函數的圖象與性質的綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握對數的性質，理解題意，由對數的性質判斷出劣數的特征，再由數列的求和公式求出所有劣數的和，本題有一定的綜合性，由新定義得出劣數的形式是解本題的突破點，判斷出最大的劣數是本題的難點