Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓＝1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(t，m)的直線TA，TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0.

(1)設(shè)動點(diǎn)P滿足PF²－PB²＝4，求點(diǎn)P的軌跡；

(2)設(shè)x₁＝2，x₂＝，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3)設(shè)t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))．

Answer 1

【答案】解：由題設(shè)得A(－3,0)，B(3,0)，F(2,0)．

(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則PF²＝(x－2)²＋y²，PB²＝(x－3)²＋y².

由PF²－PB²＝4，得(x－2)²＋y²－(x－3)²－y²＝4，化簡得x＝.

故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x＝.

(2)由x₁＝2，＝1及y₁＞0，得y₁＝，則點(diǎn)M(2，)，從而直線AM的方程為y＝x＋1；

由x₂＝，＝1及y₂＜0，得y₂＝－，則點(diǎn)N(，－)，從而直線BN的方程為y＝.

由

所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為(7，)．

(3)由題設(shè)知，直線AT的方程為y＝ (x＋3)，直線BT的方程為y＝ (x－3)．

點(diǎn)M(x₁，y₁)滿足

得.

因?yàn)?i>x₁≠－3，則，

解得x₁＝，

從而得y₁＝.

點(diǎn)N(x₂，y₂)滿足.

若x₁＝x₂，則由及m＞0，得m＝2，此時(shí)直線MN的方程為x＝1，過點(diǎn)D(1,0)．

若x₁≠x₂，則m≠2，直線MD的斜率k_MD＝，

直線ND的斜率k_ND＝，得k_MD＝k_ND，所以直線MN過D點(diǎn)．

因此，直線MN必過x軸上的點(diǎn)(1,0)