Question

四棱錐P－ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，又PA＝PD，∠APD＝60°，E、G分別是BC、PE的中點．

(1)求證：AD⊥PE；
(2)求二面角E－AD－G的正切值．

Answer 1

（1）AD⊥PE；（2）.

試題分析：（1）證明線線垂直要通過線面垂直證明，題中所給側面PAD⊥底面ABCD是面面垂直，通過取AD的中點O，連結OP，OE，∵PA＝PD，∴OP⊥AD，而OE⊥AD.，則AD⊥平面OPE.，從而能夠證出AD⊥PE..（2）求二面角E－AD－G的正切值可以通過兩種方法：①常規方法，作出二面角的平面角，并求出，取OE的中點F，連結FG，OG，則由(1)易知AD⊥OG，又OE⊥AD，∴∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角，再利用三角形中邊長關系求出∠GOE的正切值；②空間向量法，建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出已知點的坐標，設平面ADG的法向量為，根據，求出
，而平面EAD的一個法向量為，再根據求出.
試題解析：（1）如圖，取AD的中點O，連結OP，OE，∵PA＝PD，∴OP⊥AD，

又E是BC的中點，∴OE∥AB，∴OE⊥AD.
又OP∩OE＝0，∴AD⊥平面OPE.
∵PE?平面OPE，∴AD⊥PE.
（2）解法一：取OE的中點F，連結FG，OG，則由(1)易知AD⊥OG，
又OE⊥AD，∴∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角，
∵PA＝PD，∠APD＝60°，
∴△APD為等邊三角形，且邊長為2，
∴OP＝×2＝，FG＝OP＝，OF＝CD＝1，
∴OG＝，∴cos∠GOE＝
解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，E(0,2,0)，

∴
設平面ADG的法向量為，
由得，
∴.
又平面EAD的一個法向量為，
又因為.