Question

已知p＞0，動點M到定點F(

p

2

， 0)的距離比M到定直線l：x=-p的距離小

p

2

．
（I）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設A，B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，

OA

•

OB

=0，求△AOB面積的最小值；
（Ⅲ）在軌跡C上是否存在兩點P，Q關于直線m：y=k(x-

p

2

)(k≠0)對稱？若存在，求出直線m的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知動點M到定點F與到定直線x=-

p

2

的距離相等，點M的軌跡為拋物線，由此可求出軌跡C的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設知x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂=4p²，

S

2 △AOB

=

1

4

|

OA

|2|

OB

|2=

1

4

(

x

2 1

+

y

2 1

)(

x

2 2

+

y

2 2

)=

1

4

(

x

2 1

+2px1)(

x

2 2

+2px2)=16p⁴，由此導出△AOB面積最小值為4p²．
（Ⅲ）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）關于直線m對稱，且PQ中點D（x₀，y₀），由題設條件知y3+y4=2p

x3-x4

y3-y4

=-2pk，y₀=-pk，再由D（x₀，y₀）在m：y=k(x-

p

2

)(k≠0)上，知點D（x₀，y₀）在拋物線外，所以在軌跡C上不存在兩點P，Q關于直線m對稱．

解答：解：（Ⅰ）∵動點M到定點F與到定直線x=-

p

2

的距離相等
∴點M的軌跡為拋物線，軌跡C的方程為：y²=2px．（4分）

（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂
∴x₁x₂=4p²
∴

S

2 △AOB

=

1

4

|

OA

|2|

OB

|2=

1

4

(

x

2 1

+

y

2 1

)(

x

2 2

+

y

2 2

)
=

1

4

(

x

2 1

+2px1)(

x

2 2

+2px2)
=

1

4

[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2]≥

1

4

[(x1x2)2+2px1x2•2

x1x2

+4p2x1x2]=16p⁴
∴當且僅當x₁=x₂=2p時取等號，△AOB面積最小值為4p²．（9分）

（Ⅲ）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）關于直線m對稱，且PQ中點D（x₀，y₀）
∵P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在軌跡C上
∴y₃²=2px₃，y₄²=2px₄
兩式相減得：（y₃-y₄）（y₃+y₄）=2p（x₃-x₄）
∴y3+y4=2p

x3-x4

y3-y4

=-2pk
∴y₀=-pk
∵D（x₀，y₀）在m：y=k(x-

p

2

)(k≠0)上
∴x0=-

p

2

＜0，點D（x₀，y₀）在拋物線外
∴在軌跡C上不存在兩點P，Q關于直線m對稱．（14分）

點評：本題綜合考查軌跡方程和直線與圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件．