Question

已知函數f（x）=ln（1+x）-x+ax²，x∈[0，+∞），a∈R

(1)當a= 1 2 時，求證：在[0，+∞)上f(x)≥0， (2)若不等式f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，求實數a的取值范圍.

．

Answer 1

分析：（1）把a=

1

2

代入已知式子，求導數可得函數單調增，進而可得f（x）≥f（0）=0；
（2）求導數可得f′（x）=

2ax2+(2a-1)x

1+x

，分

2a≥0 2a-1≥0

，

2a＜0 2a-1＜0

，

2a＞0 2a-1＜0

三種情況討論即可．

解答：解：（1）當a=

1

2

時，f（x）=ln（1+x）-x+

1

2

x²，
∴f′（x）=

1

1+x

-1+x=

x2

1+x

≥0在x∈[0，+∞）恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴當x∈[0，+∞）時，f（x）≥f（0）=0，
故當x∈[0，+∞）時，f（x）≥0；
（2）∵f′（x）=

1

1+x

-1+2ax=

2ax2+(2a-1)x

1+x

，
①當

2a≥0 2a-1≥0

，即a≥

1

2

時，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）≥f（0）=0；
②當

2a＜0 2a-1＜0

，即a＜0時，f′（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）≤f（0）=0與題意不符；
③當

2a＞0 2a-1＜0

，即0＜a＜

1

2

時，f′（x）=

2ax2+(2a-1)x

1+x

=

2ax(x- 1-2a 2a )

1+x

，
故在[0，

1-2a

2a

）上，f′（x）≤0，
∴f（x）≤f（0）=0與題意不符，
綜上可得當且僅當a≥

1

2

時，f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．

點評：本題考查函數的單調性和導數的關系，以及恒成立問題，屬中檔題．