Question

在平面直角坐標系下，已知A（2，0），B（0，2），C（cos2x，sin2x），（0＜x＜

π

2

），f(x)=

AB

•

AC

．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期和值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據A和B的坐標分別表示出

AB

和

AC

，利用平面向量的數量積的運算法則化簡f(x)=

AB

•

AC

后，利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值把f（x）化為一個角的正弦函數，得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據第一問求出的f（x）的解析式，利用周期公式T=

2π

λ

即可求出f（x）的最小正周期，然后根據x的范圍求出2x-

π

4

的范圍，根據正弦函數的圖象即可得到sin（2x-

π

4

）的范圍，進而得到函數f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）依題意得

.

AB

=  (-2，2)，

.

AC

=(cos2x-2，sin2x)，
∴f(x)= 

.

AB•

.

AC

 =(-2，2)•(cos2x-2，sin2x)
=4-2cos2x+2sin2x
=2

2

sin(2x-

π

4

)+4；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=2

2

sin(2x-

π

4

)+4，
所以f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
∵0＜X＜

π

2

∴-

π

4

＜2X-

π

4

＜

3π

4

，
∴-

2

2

＜sin(2x-

π

4

)≤1，
∴2＜f(x)≤4+2

2

，
所以函數f（x）的值域是(2，4+2

2

]．

點評：此題考查學生靈活運用平面向量數量積的運算法則化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，掌握正弦函數的周期公式及正弦函數的值域，是一道綜合題．