Question

設(shè)向量

.

a

=（4cosα，sinα），

.

b

=（sinβ，4cosβ），

.

c

=（cosβ，-4sinβ）．
（1）若

.

a

與

.

b

-2

.

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|

.

b

+

.

c

|的最大值；
（3）若

.

a

∥

.

b

，求

cos(α+β)

cos(α-β)

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積以及兩向量垂直時對應(yīng)的結(jié)論即可得到答案；
（2）直接代入向量的模長計算公式結(jié)合三角函數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論；
（3）先根據(jù)兩向量平行的等價條件求出關(guān)于α和β之間的等式，再代入所求即可．

解答：解：（1）∵

.

a

=（4cosα，sinα），

.

b

=（sinβ，4cosβ），

.

c

=（cosβ，-4sinβ）．
∴

a

•

b

=4cosαsinβ+4sinαcosβ=4sin(α+β)，

a

•

c

=4cos(α+β)，
∵

a

•(

b

-2

c

)=0，
∴

a

•

b

=2

a

•

c

，
∴4sin（α+β）=8cos（α+β），
即tan（α+β）=2
（2）∵|

b

+

c

|=

(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2

=

17-15sin2β

≤4

2

，
即|

b

+

c

|的最大值為4

2

（3）∵

a

∥

b

∴16cosαcosβ-sinαsinβ=0，tanαtanβ=16，

cos(α+β)

cos(α-β)

=

1-tanαtanβ

1+tanαtanβ

=-

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點評：本題通過向量的數(shù)量積為載體，考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查計算能力，邏輯推理能力．