Question

已知數列{a_n}滿足 a₁=2，a₂=8，a_n+2=4a_n+1-4a_n．
（1）證明{a_n+1-2a_n}是等比數列；
（2）證明{

an

2n

}是等差數列；
（3）設S=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₀，求S的值．

Answer 1

分析：（1）由a_n+2=4a_n+1-4a_n可得a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），即

an+2-2an+1

an+1-2an

=2可證．
（2）由（1）利用等比數列的通項可知，a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹，則

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，結合等差數列的定義可知{

an

2n

}是等差數列
（3）由

an

2n

=n，可得a_n=n•2ⁿ，考慮利用錯位相減求和．

解答：解：（1）∵a_n+2=4a_n+1-4a_n∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
即

an+2-2an+1

an+1-2an

=2，又 a₂-2a₁=4
∴數列{a_n+1-2a_n}是以4為首項，2為公比的等比數列．
（2）由（1）知，a_n+1-2a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，又 

a1

2

=1，
∴數列{

an

2n

}是首項為1，公差為1的等差數列，即正整數列．
（3）∵

an

2n

=n，∴a_n=n•2ⁿ，又 S=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₀，
∴S=2+2•2²+3•2³+…+2010•2²⁰¹⁰①2S=2²+2•2³+3•2⁴+…+2010•2²⁰¹¹②
①-②得-S=2+2²+2³+…+2²⁰¹⁰-2010•2²⁰¹¹=2²⁰¹¹-2-2010•2²⁰¹¹
∴S=2009•2¹⁰¹¹+2．

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造特殊數列（等差數列、等比數列），及等差數列等比數列的通項公式的求解，錯位相減求解數列的和的方法的應用．