Question

在實數集R上定義運算：xy＝x(a－y)(a∈R，a為常數)．若f(x)＝e^x，g(x)＝e^－x＋2x²，F(x)＝f(x)g(x)．

(Ⅰ)求F(x)的解析式；

(Ⅱ)若F(x)在R上是減函數，求實數a的取值范圍；

(Ⅲ)若a＝－3，在F(x)的曲線上是否存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由題意，F(x)＝f(x)(a－g(x))　2分

　　＝e^x(a－e^－x－2x²)

　　＝ae^x－1－2x²e^x　4分

　　(Ⅱ)∵(x)＝ae^x－2x²e^x－4xe^x＝－e^x(2x²＋4x－a)，　6分

　　當x∈R時，F(x)在減函數，

　　∴(x)≤0對于x∈R恒成立，即

　　－e^x(2x²＋4x－a)≤0恒成立，　8分

　　∵e^x＞0，

　　∴2x²＋4x－a≥0恒成立，

　　∴△＝16－8(－a)≤0，

　　∴a≤－2．　10分

　　(Ⅲ)當a＝－3時，F(x)＝－3e^x－1－2x²e^x，

　　設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)是F(x)曲線上的任意兩點，

　　∵(x)＝－e^x(2x²＋4x＋3)

　　＝－e^x[2(x＋1)²＋1]＜0，　12分

　　∴(x₁)·(x₂)＞0，

　　∴(x₁)·(x₂)＝－1不成立　13分

　　∴F(x)的曲線上不存的兩點，使得過這兩點的切線點互相垂直．　14分