Question

為了提高產品的年產量，某企業擬在2010年進行技術改革．經調查測算，產品當年的產量x萬件與投入技術改革費用m萬元（m≥0）滿足x=3-（k為常數）．如果不搞技術改革，則該產品當年的產量只能是1萬件．已知2010年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元．由于市場行情較好，廠家生產的產品均能銷售出去．廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品生產成本的1.5倍（生產成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（1）將2010年該產品的利潤y萬元（利潤=銷售金額-生產成本-技術改革費用）表示為技術改革費用m萬元的函數；
（2）該企業2010年的技術改革費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據題意令m=0代入x=3-求出常量k，這樣就得出了x與m的關系式，然后根據2010年固定收入加再投入資金求出總成本為8+16x，再除以2010的件數就可以得出2010年每件的成本，而每件的銷售價格是成本的1.5倍，從而得出了每件產品的銷售價格為（元），然后用每件的銷售單價×銷售數量得到總銷售額為x•（）．最后利用利潤=銷售金額-生產成本-技術改革費用得出利潤y的關系式．
（2）根據a+b當且僅當a=b時取等號的方法求出y的最大值時m的取值即可．
解答：解：（1）由題意可知，當m=0時，x=1（萬件）∴
每件產品的銷售價格為（元），
∴2010年的利潤=

（2）∵m≥0，∴，
∴y≤29-8=21．
當=m+1，即m=3，y_max=21．
∴該企業2010年的技術改革費用投入3萬元時，廠家的利潤最大．
點評：本題主要考查學生根據實際問題列出函數解析式的能力，以及求函數最值的問題．