Question

已知正項數列{b_n}滿足b1=1，

b

2 n+1

-bn+1bn-2

b

2 n

=bn+1+bn．若數列{a_n}滿足a1=1，an=bn(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

)（n≥2且n∈N^*）
（1）求數列{b_n}的通項公式b_n；
（2）證明：an＞3•2n-1-2(n≥4，n∈N*)；
（3）求證：(1+

1

a1

)•(1+

1

a2

)•…•(1+

1

an

)＜

10

3

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）根據

b

2 n+1

-bn+1bn-2

b

2 n

=bn+1+bn，化簡可得{b_n+1}為首項為2，公比為2的等比數列，由此可求數列{b_n}的通項公式b_n；
（2）an=bn(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

)可化為

an

bn

=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

(n≥2)，再寫一式，兩式相減可得a_n+1＞2a_n+2，由此可得結論；
（3）由（2）知(1+

1

a1

)•(1+

1

a2

)•…•(1+

1

an

)=

a1+1

a1

×

a2+1

a2

×…×

an+1

an

=2(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

)，根據

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=1+

1

3

+…+

1

2n-1

，利用放縮法，即可證得結論．

解答：（1）解：∵

b

2 n+1

-bn+1bn-2

b

2 n

=bn+1+bn
∴（b_n+1-2b_n）（b_n+1+b_n）=b_n+1+b_n
∵b_n＞0
∴b_n+1=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），
∴{b_n+1}為首項為2，公比為2的等比數列
∴b_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ-1；
（2）證明：∵an=bn(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

)
∴

an

bn

=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

(n≥2)①
∴

an+1

bn+1

=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

②
②-①可得

an+1

bn+1

=

an+1

bn

∴

an+1

an+1

=

bn

bn+1

=

2n-1

2n+1-1

＜

1

2

∴a_n+1＞2a_n+2（n≥2），n=1時也成立
∴an+1＞2an+2＞…＞2na1+2n+…+2²+2=3•2ⁿ-2
∴an＞3•2n-1-2
（3）由（2）知(1+

1

a1

)•(1+

1

a2

)•…•(1+

1

an

)=

a1+1

a1

×

a2+1

a2

×…×

an+1

an

=

1

a1

×

a1+1

a2

×…×

an+1

an+1

×a_n+1
=

2

3

×

b2

b3

×…×

bn

bn+1

×an+1=

2

3

×

b2

bn+1

×an+1=2(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

)
∵

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=1+

1

3

+…+

1

2n-1

，
當k≥2時，

1

2k-1

＜2（

1

2k-1

-

1

2k+1-1

）
∴1+

1

3

+…+

1

2n-1

＜1+2[（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1+2（

1

3

-

1

2n+1-1

）＜

5

3

∴原不等式成立．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列與不等式的結合，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．