Question

平面內(nèi)動點M與點P₁（-2，0），P₂（2，0）所成直線的斜率分別為k₁、k₂，且滿足k1k2=-

1

2

．
（1）求點M的軌跡E的方程，并指出E的曲線類型；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分別交x、y 軸于點A、B，交曲線E于點C、D，且|AC|=|BD|，N(

2

，1)求k的值及△NCD面積取得最大時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動點M的坐標(biāo)為（x，y），由k₁•k₂=-

1

2

，可得

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

2

，整理可求
（2）在l：y=kx+m中分別令x=0，y=0可得A(-

m

k

，0)，B(0，m)，從而可得AB的中點為Q(-

m

2k

，

m

2

)，聯(lián)立方程結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系及|AC|=|BD|，可得CD中點就是AB中點，從而可求k，由于CD|=

1+k2

•|x2-x1|=

1+ 1 2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3 2

•

2m2-4(m2-2)

=

3(4-m2)

，點N到CD的距離d=

| 2 k-1+m|

1+k2

=

6

3

|m|，代入利用基本不等式可求面積的最大值及K的值，進(jìn)而可求直線方程

解答：解：（1）設(shè)動點M的坐標(biāo)為（x，y），∵k₁•k₂=-

1

2

，∴

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

2

，即

x2

4

+

y2

2

=1（y≠0）
動點M的軌跡E是中心在原點，半長軸為2，焦點為（±

2

，0）的橢圓
（除去長軸兩個端點．）  它的方程是

x2

4

+

y2

2

=1（y≠0）．
（2）在l：y=kx+m中分別令x=0，y=0可得A(-

m

k

，0)，B(0，m)，AB的中點為Q(-

m

2k

，

m

2

)
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

⇒(1+2k2)x2+4mkx+2m2-4=0△=32k²-8m²+16，x₁+x₂=-

4mk

1+2k2

，x1•x2=

2m2-4

1+2k2

，
∵|AC|=|BD|，∴CD中點就是AB中點，
即-

4mk

1+2k2

=-

m

k

，4k2=1+2k2，k2=

1

2

，∵k＞0，∴k=

2

2

（2）|CD|=

1+k2

•|x2-x1|=

1+ 1 2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3 2

•

2m2-4(m2-2)

=

3(4-m2)

點N到CD的距離d=

| 2 k-1+m|

1+k2

=

6

3

|m|，S_△NCD=

1

2

|CD|•d=

1

2

•

3(4-m2)

•

6

3

|m|=

2

2

(4-m2)m2

≤

2

2

 (4-m2+m2)=2

2

當(dāng)且僅當(dāng)4-m²=m²時等號成立，即m²=2，m=±

2

，此時△＞0，
所以直線的方程為l：y=

2

2

x±

2

．

點評：本題主要考查了利用直線的斜率關(guān)系求解點的軌跡方程，要注意（1）中要去掉不符合條件的點，考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用．