Question

函數的定義域為，若存在閉區間[m,n] D，使得函數滿足：①

在[m,n]上是單調函數；②在[m,n]上的值域為[2m,2n]，則稱區間[m,n]為的

“倍值區間”．下列函數中存在“倍值區間”的有         (填上所有正確的序號)

①；            ②；

③；        ④ 

 

Answer 1

【答案】

①③④．

【解析】解：函數中存在“倍值區間”，則：①f（x）在[a，b]內是單調函數；②

f(a)=2a, f(b)=2b或f(a)=2b, f(b)=2a

①f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值區間”[a，b]，則

A=0,b=2

∴f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值區間”[0，2]；

②f（x）=e^x（x∈R），若存在“倍值區間”[a，b]，則f(a)=2a, f(b)=2b

構建函數g（x）=e^x-x，∴g′（x）=e^x-1，∴函數在（-∞，0）上單調減，在（0，+∞）上單調增，∴函數在x=0處取得極小值，且為最小值．∵g（0）=1，∴，g（x）＞0，∴e^x-x=0無解，故函數不存在“倍值區間”；

③f(x)=

若存在“倍值區間”[a，b]⊆[0，1]，則f(a)=2a, f(b)=2b

∴a=0，b=1，若存在“倍值區間”[0，1]；

④f(x)=log_a(a^x- )，log_a(a^m-)=2m，log_a(aⁿ-)=2n (a＞0，a≠1)．不妨設a＞1，則函數在定義域內為單調增函數

若存在“倍值區間”[m，n]，則log_a(aⁿ-)=2n，log_a(a^m-)=2m

∴2m，2n是方程log_a(a^x-)=2x的兩個根，∴2m，2n是方程a^2x-a^x+=0的兩個根，由于該方程有兩個不等的正根，故存在“倍值區間”[m，n]；綜上知，所給函數中存在“倍值區間”的有①③④

故選C．