Question

 本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分.如果多做，則按所做的前兩題記分.作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中.作

（1）選修4—2:矩陣與變換

若二階矩陣滿足.

（Ⅰ）求二階矩陣；

（Ⅱ）把矩陣所對應的變換作用在曲線上，求所得曲線的方程.

（2）選修4-4：坐標系與參數方程

已知在直角坐標系中，曲線的參數方程為（t為非零常數，為參數），在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，直線的方程為.

（Ⅰ）求曲線C的普通方程并說明曲線的形狀；

（Ⅱ）是否存在實數，使得直線與曲線C有兩個不同的公共點、，且（其中為坐標原點）？若存在，請求出；否則，請說明理由.

（3）選修4—5：不等式選講

已知函數的最小值為，實數滿足.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求證：．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）選修:矩陣與變換

本題主要考查矩陣、逆矩陣、曲線的線性變換等基礎知識，考查運算求解能力及函數與方程思想.滿分7分.

解：（Ⅰ）記矩陣，故，故.  ……2分

由已知得.  ……3分

（Ⅱ）設二階矩陣所對應的變換為，得，

解得，   ……5分

又，故有，化簡得.故所得曲線的方程為.  ……7分

（2）選修:坐標系與參數方程

本題主要考查曲線的參數方程、直線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力以及化歸與轉化思想、分類與整合思想.滿分7分.

解：（Ⅰ）∵，∴可將曲線C的方程化為普通方程：. ……1分

①當時，曲線C為圓心在原點，半徑為2的圓；  ……2分

②當時，曲線C為中心在原點的橢圓.  ……3分

（Ⅱ）直線的普通方程為：.   ……4分

聯立直線與曲線的方程，消得，化簡得.

若直線與曲線C有兩個不同的公共點，則，解得.

……5分

又  ……6分

故

.

解得與相矛盾.  

故不存在滿足題意的實數.   ……7分

（3）選修；不等式選講

本題主要考查絕對值的幾何意義、柯西不等式等基礎知識，考查運算求解能力以及推理論證能力，考查函數與方程思想以及分類與整合思想.滿分7分.

解：（Ⅰ）法一： ，……2分

可得函數的最小值為2.故.  ……3分

法二：，  ……2分

當且僅當時，等號成立，故.   ……3分

（Ⅱ）

  ……5分

    即：,

            故.    ……7分