Question

設函數（），．
（Ⅰ）關于的不等式的解集中的整數恰有3個，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）對于函數與定義域上的任意實數，若存在常數，使得和都成立，則稱直線為函數與的“分界線”．設，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．　　（Ⅱ）．

(1)解本題的關鍵是把不等式解集的問題轉化為函數零點的分布問題.把函數代入整理得構造結合二次函數的性質得一個零點在區間，則另一個零點必在內，所以解得；也可以分解因式確定解集的端點解得.前提都要保證.
（2）與是否存在“分界線”要先看是否存在公共點，構造函數研究單調性可求出與有公共點，所以分界線必過點設出“分界線”方程為，
證明在恒成立，求出.然后證明恒成立．即可得到所求“分界線”方程為：
（Ⅰ）解法一:不等式的解集中的整數恰有3個，
等價于恰有三個整數解，故，　
令，由
且，
所以函數的一個零點在區間，
則另一個零點一定在區間，           　…………4分
故解之得．　　　       ………………6分
解法二：恰有三個整數解，故，即，
，
所以，又因為，　…………4分
所以，解之得．　　……………6分
（Ⅱ）設，則．
所以當時，；當時，．
因此時，取得最小值，
則與的圖象在處有公共點．………8分
設與存在 “分界線”，方程為，
即，
由在恒成立，
則在恒成立 ．
所以
因此．　　　 　………11分
下面證明恒成立．
設，則．
所以當時，；當時，．
因此時取得最大值，則 
故所求“分界線”方程為：．