Question

（本小題共14分）

已知橢圓（）的左、右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四

邊形是邊長為2的正方形.

（1）求橢圓的方程；

（2）若、分別是橢圓長軸的左、右端點，動點滿足，連結，交橢圓于點.證明：為定值；

（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點Q，使得以為直徑的圓恒過直線的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（本小題共14分）

解：（Ⅰ）如圖，由題意得，,，.

所求的橢圓方程為.             …………………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（，0），（2，0）.                ………………………………………4分

由題意可設：，（，）.

，（2，）.      ……………5分

由 整理得:.

，    .           ………………………………………7分

，.           ………………………………………8分

.      ………………………………………9分

即為定值.

（Ⅲ）設，則.

若以為直徑的圓恒過，的交點，則，恒成立.……10分

由（Ⅱ）可知，.      ………………………………12分

.即恒成立..

存在使得以為直徑的圓恒過直線，的交點.  ……………………………14分