Question

已知函數f（x）在R上有定義，對任意實數a＞0和任意實數x都有f（ax）=a﹒f（x）．
（1）證明：f（0）=0
（2）若f（1）=1，求g(x)=

1

f(x)

+f(x)．(x＞0)的極值．

Answer 1

分析：（1）令x=0代入即可得到答案．
（2）先表示出函數g（x），然后對其進行求導，導數大于0時單調遞增，導數小于0時單調遞減，導數等于0時函數取到極值點．

解答：解：（1）證明：令x=0，則f（0）=af（0），
∵a＞0，∴f（0）=0．
（2）由于f（1）=1
則f（x）=f（x•1）=x•f（1）=x
故g(x)=

1

f(x)

+f(x)=

1

x

+x．(x＞0)
可得g′(x)=1-

1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

  (x＞0)
令g ′(x)＞0，則x＞1或x＜-1；令g ′(x)＜0，則-1＜x＜1．
故函數g（x）在x=-1處取得極大值，且極大值為-2，函數g（x）在x=1處取得極小值，且極小值為2．

點評：本題主要考查函數的導數有關問題，當導數大于0時函數單調遞增，當導數小于0時函數單調遞減，當導數等于0時函數取極值點．