Question

下列各一元二次不等式中，解集為空集的是（　　）

• A、（x+3）（x-1）＞0
• B、（x+4）（x-1）＜0
• C、x²-2x+3＜0
• D、2x²-3x-2＞0

Answer 1

分析：A、根據兩數相乘的符號法則：同號得正，異號得負，得到x+3與x-1同號，即同時大于0或同時小于0，即可求出不等式的解集，經過判定發現解集不為空集，本選項錯誤；
B、根據兩數相乘的符號法則：同號得正，異號得負，得到x+3與x-1異號，即其中一個小于0，令一個大于0，即可求出不等式的解集，經過判定發現解集不為空集，本選項錯誤；
C、設不等式的左邊為一個函數，發現此函數為開口向上的拋物線，且根據根的判別式小于0得到此拋物線與x軸沒有交點，從而得到函數值y恒大于0，故小于0無解，即解集為空集，本選項正確；
D、把不等式的左邊分解因式，根據兩數相乘的符號法則：同號得正，異號得負，得到2x+1與x-2同號，即同時大于0或同時小于0，即可求出不等式的解集，判定發現不為空集，本選項錯誤．

解答：解：A、（x+3）（x-1）＞0，
可化為

x+3＞0 x-1＞0

或

x+3＜0 x-1＜0

，
解得：x＞1或x＜-3，
不為空集，本選項錯誤；
B、（x+4）（x-1）＜0，
可化為

x+4＞0 x-1＜0

或

x+4＜0 x-1＞0

，
解得：-4＜x＜1，
不為空集，本選項錯誤；
C、設y=x²-2x+3，為開口向上的拋物線，
且△=b²-4ac=-8＜0，即拋物線與x軸沒有交點，
所y＞0，即x²-2x+3＞0，
則x²-2x+3＜0的解集為空集，本選項正確；
D、2x²-3x-2＞0，
因式分解得：（2x+1）（x-2）＞0，
可化為：

2x+1＞0 x-2＞0

或

2x+1＜0 x-2＜0

，
解得：x＞2或x＜-

1

2

，
不為空集，本選項錯誤，
故選C．

點評：此題考查了一元二次不等式的解法，以及空集的定義．選項A，B及D中不等式的解法利用了轉化的數學思想，選項C利用二次函數的開口方向，及與x軸的交點來解．