Question

已知函數f(x)=2sin(

1

2

x+

π

3

)
（1）寫出此函數f（x）的周期、值域；     
（2）求出f（x）在[0，2π]上的單調遞增區間；
（3）比較f（

π

7

）與f（

π

5

）的大小．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的周期公式，算出f（x）的周期T=4π．再由正弦函數的最大值為1、最小值為-1，即可得出函數f（x）的值域．
（2）由正弦函數單調區間的公式，解關于x的不等式，算出f（x）在R上的增區間為[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），再取k=0，將得到的區間與[0，2π]求交集，可得f（x）在[0，2π]上的單調遞增區間．
（3）由

π

7

＜

π

5

為區間[0，

π

3

]內的數，利用（2）的結論可得f（

π

7

）與f（

π

5

）的大小關系．

解答：解：（1）∵函數f(x)=2sin(

1

2

x+

π

3

)中ω=

1

2

，
∴函數f（x）的周期T=

2π

1 2

=4π，
又∵sin(

1

2

x+

π

3

)的最大值為1，最小值為-1，
∴f(x)=2sin(

1

2

x+

π

3

)的最大值為2，最小值為-2，可得函數的值域為[-2，2]．
（2）令

1

2

x+

π

3

=z，
∵函數y=sinz的單調遞增區間[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），
∴由-

π

2

+2kπ≤z≤

π

2

+2kπ，即-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
解之得-

5π

3

+4kπ≤x≤

π

3

+4kπ（k∈Z），
設A=[0，2π]，B=﹛x|-

5π

3

+4kπ≤x≤

π

3

+4kπ，k∈Z﹜
取k=0，得B=[-

5π

3

，

π

3

]，可得A∩B=[0，

π

3

]，
∴f（x）在[0，2π]上的單調遞增區間是[0，

π

3

]．
（3）由（2）的結論，可知函數f（x）在[0，

π

3

]上是增函數，
∵0＜

π

7

＜

π

5

＜

π

3

，∴f（

π

7

）＜f（

π

5

）．

點評：本題給出正弦型三角函數，求函數的周期與值域，并求在[0，2π]上的單調增區間．著重考查了三角函數的周期公式、三角函數的值域與單調性及其應用等知識，屬于中檔題．