Question

（2012•石家莊一模）在平面直角坐標系xOy中，已知定點A（-2，0）、B（2，0），M是動點，且直線MA與直線MB的斜率之積為-

1

4

，設動點M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II）過定點T（-1，0）的動直線l與曲線C交于P，Q兩點，若S（-

17

8

，0），證明：

SP

•

SQ

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)定點A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-

1

4

，建立方程，化簡可得結論；
（Ⅱ）當動直線l的斜率不存在時，P（-1，

3

2

），Q（-1，-

3

2

），可得

SP

•

SQ

=

33

64

；當動直線l的斜率存在時，設動直線l的方程聯(lián)立方程組，消去y得一元二次方程，利用韋達定理及向量的數(shù)量積運算，可得結論．

解答：（Ⅰ）解：設M點坐標為（x，y）（x≠±2）
∵定點A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-

1

4

，
∴

y

x+2

×

y

x-2

=-

1

4

，
∴

x2

4

+y2=1（x≠±2）
（Ⅱ）證明：當動直線l的斜率不存在時，P（-1，

3

2

），Q（-1，-

3

2

），若S（-

17

8

，0），

SP

•

SQ

=

33

64

．
當動直線l的斜率存在時，設動直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0），聯(lián)立方程組，消去y得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4k2-4

1+4k2

∴

SP

=（x₁+

17

8

，y1），

SQ

=（x₂+

17

8

，y2），
∴

SP

•

SQ

=（x₁+

17

8

，y1）•（x₂+

17

8

，y2）=

-4(1+4k2)

1+4k2

+

172

82

=

33

64

．

點評：本題考查軌跡方程的求解，考查存在性問題的探究，解題的關鍵是用坐標表示出

SP

•

SQ

，進而確定定值．