Question

設數列{a_n}的各項都是正數，且對任意n∈N^*，都有＋…＋＝，記S_n為數列{a_n}的前n項和．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)若b_n＝3ⁿ＋(－1)^n－1λ·2a_n(λ為非零常數，n∈N^*)，問是否存在整數λ，使得對任意n∈N^*，都有b_n＋1>b_n.

Answer 1

（1）a_n＝n（2）存在整數λ＝－1

(1)在已知式中，當n＝1時，＝，∵a₁>0，∴a₁＝1，當n≥2時，＋＋＋…＋＝，①
＋…＋＝，②
①－②得，＝－＝(S_n－S_n－1)(S_n＋S_n－1)，
∵a_n>0，∴＝S_n＋S_n－1＝2S_n－a_n，③
∵a₁＝1適合上式
當n≥2時，＝2S_n－1－a_n－1，④
③－④得－＝2(S_n－S_n－1)－a_n＋a_n－1＝2a_n－a_n＋a_n－1＝a_n＋a_n－1.
∵a_n＋a_n－1>0，∴a_n－a_n－1＝1，∴數列{a_n}是等差數列，首項為1，公差為1，可得a_n＝n.
(2)由(1)知：b_n＝3ⁿ＋(－1)^n－1λ·2ⁿ
∴b_n＋1－b_n＝[3^n＋1＋(－1)ⁿλ·2^n＋1]－[3ⁿ＋(－1)^n－1λ·2ⁿ]＝2·3ⁿ－3λ(－1)^n－1·2ⁿ>0
∴(－1)^n－1·λ<^n－1，⑤
當n＝2k－1，k＝1,2,3，…時，⑤式即為λ<^2k－2，⑥
依題意，⑥式對k＝1,2,3，…都成立，∴λ<1，
當n＝2k，k＝1,2,3，…時，⑤式即為λ>－^2k－1，⑦
依題意，⑦式對k＝1,2,3，…都成立，
∴λ>－，∴－<λ<1，又λ≠0，∴存在整數λ＝－1，使得對任意n∈N^*，都有b_n＋1>b_n.