Question

如圖所示，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=PC=AC=1，BC=2，∠ACB=120°，AB⊥PC．
①求證：平面PAC⊥平面ABC；
②求三棱錐A-MBC的體積．

Answer 1

分析：①由∠PCB=90°，得PC⊥CB，又AB⊥PC，利用線面垂直的判定可以證明PC⊥平面ABC，繼而得到面面垂直；
②由PC⊥平面ABC，根據面面垂直的判定可得面ABC⊥面PVBM，再由兩面垂直的性質定理可得三棱錐A-MBC的高，解直角三角形求出三棱錐A-MBC的高，則體積可求．

解答：①證明：∵∠PCB=90°，∴PC⊥CB，又PC⊥AB，且AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC，又PC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC；
②∵PC⊥平面ABC，PC?平面PCBM，∴平面PCBM⊥平面ABC，
如圖，
在平面ABC中過A作AD垂直于BC的延長線與D，則AD⊥平面PCBM，則AD為三棱錐A-MBC的高，
∵∠ACB=120°，∴∠ACD=60°，在直角三角形ADC中，AD=ACsin60°=1×

3

2

=

3

2

．
又S_△BMC=S_{四邊形PCBM}-S_△MPC=

1

2

(PM+BC)•PC-

1

2

PM•PC=

1

2

(1+2)×1-

1

2

×1×1=1．
∴VA-MBC=

1

3

S△BMC•AD=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

．
所以，三棱錐A-MBC的體積為

3

6

．

點評：本題主要考查了直線與平面、平面與平面垂直的判定和性質，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．