Question

已知函數(shù)=，其中a≠0

（1）   若對一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.

（2）在函數(shù)的圖像上取定兩點，，記直線AB的斜率為K，問：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

【解析】（Ⅰ）若，則對一切，，這與題設(shè)矛盾，又，

故.而令

當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，故當時，取最小值

于是對一切恒成立，當且僅當.　　　　　　　①

令則

當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.

故當時，取最大值.因此，當且僅當即時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，

令則

令，則.

當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.

故當，即

從而，又

所以

因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使單調(diào)遞增，故這樣的是唯一的，且.故當且僅當時， .

綜上所述，存在使成立.且的取值范圍為.

【點評】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學思想方法.第一問利用導函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為，從而得出a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的單調(diào)性及最值來進行分析判斷.