Question

宇宙深處有一顆美麗的行星，這個行星是一個半徑為r（r>0）的球。人們在行星表面建立了與地球表面同樣的經緯度系統。已知行星表面上的A點落在北緯60°，東經30°；B點落在東經30°的赤道上；C點落在北緯60°，東經90°。在赤道上有點P滿足PB兩點間的球面距離等于AB兩點間的球面距離。
（1）求AC兩點間的球面距離；
（2）求P點的經度；
（3）求AP兩點間的球面距離。

Answer 1

解析試題分析：（1）根據緯度、經度的定義求出的長，在由余弦定理求的大小，然后用弧長公式
求AC兩點間的球面距離，（2）由球面距離定義知∠POB=∠AOB=60°，又P點在赤道上，根據經度的定義可確定P點的經度；（3）連接A，C，，可知A平行OB且等于OB的一半，延長BA與交于D點，那么，同理可證，即四邊形為等腰梯形，求出的長，然后解三角形可得的大小。  
試題解析：設球心為，北緯60°圈所對應的圓心為，
（1）那么=。A=C=。又因為∠AC=60°。
所以AC=。那么由余弦定理得
，則AC兩點間的球面距離為。
（2）PB兩點間的球面距離等于AB兩點間的球面距離，所以PB=AB。
可知∠POB=∠AOB=60°，又P點在赤道上，所以P點的經度為東經90°或西經30°。
顯然P點的兩種可能對應的AP間的球面距離相等。不妨P所在的經度為東經90°。
由條件可知A平行OB且等于OB的一半，延長BA與交于D點，那么。  
而C平行OP且等于OP的一半，所以D、P、C共線且。
可知AC∥BP，所以A、B、C、P共面。
又，所以四邊形為等腰梯形，
所以，，
所以兩點之間的球面距離為
考點：（1）緯（經）的定義；（2）球面距離的定義與求法；（3）余弦定理的應用；（4）反三角函數的應用。