精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

設(shè)圓滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3:1,在滿足條件①、②的所有圓中,求圓心到直線ι:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

解法一:設(shè)圓的圓心為,半徑為,則點(diǎn)到軸,軸的距離分別為,.

由題設(shè)知圓截軸所得劣弧對的圓心角為，知圓截軸所得的弦長為

故

又圓截軸所得的弦長為2,所以有.從而得.

又點(diǎn)到直線的距離為,

所以,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號成立,此時(shí),從而取得最小值.

由此有

解此方程組得或

由于知于是,所求圓的方程是

,或.

解法二:同解法一得

∴

得 ①

將代入①式,整理得

②

把它看作的二次方程,由于方程有實(shí)根,故判別式非負(fù),即，得

所以有最小值1，從而有最小值

將其代入②式得.解得.

將代入,得.由得.

綜上,,.由知，同號.于是,所求圓的方程是

,或.

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已知點(diǎn)P是圓x²+y²=1上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，設(shè)滿足條件

的點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)N（1，0）且斜率為k₁（k₁≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA的斜率為k₂，求k₁²+k₂²的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分，請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，
AB與OP交于點(diǎn)M，設(shè)CD為過點(diǎn)M且不過圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點(diǎn)共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個(gè)特征向量e₁=[

]，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2

sin（θ-

），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=1+

y=-1-

（t為參數(shù)），求直線l被曲線C所截得的弦長．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題