Question

二面角α-l-β的平面角為120°，在 平面 α內，AB⊥l于B，AB=3，在平面β內，CD⊥l于D，CD=4，BD=5，M是棱l上的一個動點，則AM+CM的最小值為

2

19.24

．

Answer 1

分析：如圖所示，①設點M位于BD之間，令BM=x，則DM=5-x．于是AM=

32+x2

，CM=

(5-x)2+42

，
利用基本不等式即可得AM+CM=

9+x2

+

x2-10x+41

≥2

9+x2• x2-10x+41

，當且僅當

9+x2

=

x2-10x+41

，解得x=3.2時取等號．

解答：解：如圖所示，①設點M位于BD之間，令BM=x，則DM=5-x．
于是AM=

32+x2

，CM=

(5-x)2+42

，
∴AM+CM=

9+x2

+

x2-10x+41

≥2

9+x2• x2-10x+41

，當且僅當

9+x2

=

x2-10x+41

，解得x=3.2時取等號．
∴AM+CM的最小值為2

9+3．22

=2

19.24

．
②當M位于直線l上除去線段BD時，可得AM+CM＞

32+52

+4，AM+CM＞

42+52

+3，
而

34

+4＞2

19.24

，

41

+3＞2

19.24

，
∴此時AM+CM＞2

19.24

．
綜上①②可知：當點M位于BD之間且BM=3.2時，AM+CM取得最小值2

19.24

．
故答案為2

19.24

．

點評：熟練掌握勾股定理和基本不等式、分類討論思想方法是解題的關鍵．