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設a∈R，f（x）為奇函數，且數學公式
（1）試求f（x）的反函數f-1（x）的解析式及f-1（x）的定義域；
（2）設數學公式，是否存在實數k，使得對于任意的數學公式，f-1（x）≤g（x）恒成立，如果存在，求實數k的取值范圍．如果不存在，請說明理由．

解：（1）因為f（x）為奇函數，且x∈R所以f（0）=0，得a=1，（6分）
（2）假設存在滿足條件的實數k．
因為，所以k＞0
由f-1（x）≤g（x）得，所以，
所以當時，k2≤1-x2恒成立（10分）
即，又k＞0
所以k的取值范圍是（14分）
分析：（1）利用f（x）為奇函數當x=0有意義，則f（0）=0，求出a，求出f（x）的解析式；將函數f（x）看出關于x的方程，求出x，將x換成y，將y換成x求出反函數，求出f（x）的值域即反函數的定義域．
（2）先利用對數函數的真數大于0求出k的范圍；利用對數函數的單調性去掉對數符號，將不等式轉化為二次不等式恒成立；轉化為函數的求最值．
點評：本題考查奇函數的特殊函數值f（0）=0、考查反函數的求法、利用對數函數的單調性解決對數不等式問題，解決不等式恒成立常轉化為函數的最值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=-x2+2ax+1-a．
（1）若f（x）在[0，1]上的最大值是2，求實數a的值；
（2）設M={a∈R：f（x）在區間[-2，3]上的最小值為-1}，試求M；
（3）是否存在實數a使f（x）在[-4，2]上的值域為[-12．，13]？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）設a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin2x的定義域是[
π
4
，
11
24
π]，f(
π
4
)=
3
．給出下列幾個命題：
①f（x）在x=
π
4
處取得小值；
②[
5
12
π，
11
24
π]是f（x）的一個單調遞減區間；
③f（x）的最大值為2；
④使得f（x）取得最大值的點僅有一個x=
π
3
．
其中正確命題的序號是
②③④
②③④
．（將你認為正確命題的序號都填上）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos2（
π
2
-x）滿足f(-
π
3
)=f(0)，當x∈[
π
4
，
11π
24
]時，則f（x）的值域為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

設a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin2x的定義域是數學公式．給出下列幾個命題：
①f（x）在數學公式處取得小值；
②數學公式是f（x）的一個單調遞減區間；
③f（x）的最大值為2；
④使得f（x）取得最大值的點僅有一個數學公式．
其中正確命題的序號是________．（將你認為正確命題的序號都填上）

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年安徽省四校高三第一次聯考數學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

設a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin2x的定義域是．給出下列幾個命題：
①f（x）在處取得小值；
②是f（x）的一個單調遞減區間；
③f（x）的最大值為2；
④使得f（x）取得最大值的點僅有一個．
其中正確命題的序號是    ．（將你認為正確命題的序號都填上）

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