Question

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.”

   （I）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意

[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，

試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

   （III）設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于定義域中任意的.

Answer 1

（1）函數(shù)是集合M中的元素  （2）證明見(jiàn)解析

（3）證明見(jiàn)解析

解析:

（1）因?yàn)?img width=127 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/9/35409.gif" >，…………2分 

    所以滿足條件………………3分

    又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以方程有實(shí)數(shù)根0.

    所以函數(shù)是集合M中的元素.…………4分

     （2）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根），

    則，………5分  不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)

    使得等式成立，……………………7分

    因?yàn)?img width=196 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/22/35422.gif" >，所以，

    與已知矛盾，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；…………9分

    （3）不妨設(shè)，因?yàn)?img width=68 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/27/35427.gif" >所以為增函數(shù)，所以，

    又因?yàn)?img width=84 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/30/35430.gif" >，所以函數(shù)為減函數(shù)，………………10分

    所以，…………11分

    所以，即…………12分

    所以

…………13分