Question

給出下列命題：
①已知橢圓

x2

16

+

y2

8

=1兩焦點F₁，F₂，則橢圓上存在六個不同點M，使得△F₁MF₂為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x²的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標原點，則|OM|=a；
④根據氣象記錄，知道荊門和襄陽兩地一年中雨天所占的概率分別為20%和18%，兩地同時下雨的概率為12%，則荊門為雨天時，襄陽也為雨天的概率是60%．
其中正確命題的序號是（　　）

A．①③④

B．①②③

C．③④

D．①②④

Answer 1

分析：①判斷過焦點和短軸短點的三角形的性質即可．②根據直線與拋物線的位置關系判斷．③利用直線與雙曲線的位置關系判斷．④根據條件概率的定義判斷．

解答：解：①橢圓的方程可知a=4，b=2

2

，c=2

2

，則焦點和短軸短點的三角形的角為θ，
則sin

θ

2

=

c

a

=

2 2

4

=

2

2

，則

θ

2

=

π

4

，所以θ=

π

2

，所以此時存在2個不同點M，使得△F₁MF₂為直角三角形，當θ≠

π

2

，則當F₁M⊥F₂F₁，或F₂M⊥F₂F₁，時，此時對應的M有四個，所以總共6個M，所以①正確．
②拋物線的標準方程為x2=

1

2

y，所以2p=

1

2

，根據拋物線的性質可知，過焦點的直線和拋物線相交，通徑最最小，所以|AB|的最小值為

1

2

，所以②錯誤．
③雙曲線的漸進性方程為y=±

b

a

x，不妨取bx-ay=0，焦點為（c，0），所以根據點到直線的距離公式得
d=

|bc|

a2+b2

=

bc

c

=b，所以|OM|=

c2-b2

=a，所以③正確．
④設一年中荊門下雨記為事件A，襄陽下雨記為事件B，則兩市同時下雨記為事件AB，
所以p（A）=20%，p（B）=18%，p（AB）=12%，
則荊門為雨天時，襄陽也為雨天的概率為

P(AB)

P(A)

=

12%

20%

=60%，所以④正確．
故選A．

點評：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．